Matematika Modul 2: Himpunan, Relasi Dan Fungsi

Assalamu’alaikum warahmatullahiwabarakatuh

Bagaimana kabar anda hari ini? Semoga selalu sehat-sehat saja, dan saya do’akan kepada siapa pun yang telah membaca artikel ini, supaya:

1. Yang belum dapat jodoh, semoga segera dapat jodoh. Aamiin….
2. Yang belum dapat pekerjaan, semoga mendapatkan pekerjaan. Aamiin….
3. Yang sedang bekerja, mudah-mudahan rezkinya makin melimpah. Aamiin….
4. Yang sedang bersekolah, semoga sekolahnya berkah dan mendapatkan ilmu yang bermanfaat. Aamiin….

Kegiatan Belajar 1 

Himpunan

A. Pengertian Himpunan dan Notasinya

Himpunan adalah suatu kumpulan dari objek – objek yang di definisikan dengan jelas. Objek yang termasuk himpunan di sebut anggota (elemen) dari himpunan itu.

Pada umumnya himpunan di simbolkan dengan huruf kapital A, B, C, …. dan seterusnya. Sedangkan elemennya biasanya di simbolkan dengan alphabet kecil a, b, c, …. dan seterusnya.

Notasi “a ∈ A” di baca a elemen dari A, sedangkan notasi “d ∉ D” di baca d bukan elemen dari D.

Himpunan mungkin saja beranggotakan himpunan-himpunan atau yang biasa di sebut keluarga/koleksi himpunan-himpunan.

Contoh dari himpunan:

1. Jika G = himpunan huruf hidup dalam abjad latin, maka a ∈ G, e ∈ G, u ∈ G, 0 ∈ G dan I ∈ G, tetapi b ∉ G, d ∉ G, m ∉ G.

2. Jika C = himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf J, maka Januari ∈ C, Juni ∈ C, Juli ∈ C, tetapi Mei ∉ C, Agustus C,November ∉ C.

Notasi dalam Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan secara singkat dengan 2 cara, yaitu :

1. Cara Daftar (tabulasi)

Mendaftaratau menuliskan anggota – anggotanya diantara kurung kurawal buka dan tutup, setiap dua anggota dipisahkan tanda koma.

Contoh:

P = { 2, 3, 5, 7 } adalah himpunan empat bilangan pertama, dalam mendaftar anggota – anggotanya tidak perlu berurutan, sehingga himpunan P dapat pula  dinyatakan sebagai

 { 3, 5, 2, 7 }, { 7, 3, 5, 2 }, dan lain sebagainya.

2. Notasi pembentuk himpunan

Dengan menulis satu huruf sembarangan sebagai perubah anggota dan syarat keanggotaannya serta tanda garis tegak diantara perubah dan syarat keanggotaannya yang semuanya di tulis diantara kurung kurawal buka dan tutup.

Contoh:

A= { x|x bilangan asli } dibaca himpunan semua x sedemikian hingga x bilangan asli, atau dapat dituliskan sebagai A= { bilangan asli }. D = { x|x < 101 dan x bilangan asli } atau D = { bilangan asli kurang dari 101}. Apabila diketahui bahwa A adalah himpunan semua bilangan asli, maka himpunan D tersebut dapat dituliskan lebih singkat menjadi D = { x ∈ A|x < 101 }. 

B. Hubungan Dua Himpunan

1. Hubungan Bagian (subset)

Misalkan A= { 1, 5 } dan B= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, maka 1 dan 5 merupakan anggota dari himpunan A dan juga anggota dari himpunan B ( ditulis A ⊂ B) di baca A termuat dalam B yang sama artinya B memuat A.

Dalam pembahasan himpunan, kita perlu menetapkan suatu himpunan yang anggota – anggotanya merupakan sumber pembahasan. Himpunan seperti ini disebut himpunan semesta dengan lambang huruf S atau U. suatu himpunan dapat digambarkan dengan suatu diagram yang biasa di sebut DIAGRAM VENN.

2.  Dua Himpunan Sama

Dua himpunan A dan B dikatakan sama (A=B) jika setiap anggota A merupakan anggota B, dan setiap anggota B merupakan anggota A juga.

Contoh:

Jika A = { 1, 2, 3, 4 } dan B= { 4, 2, 3, 1 }, maka A=B

3.  Dua Himpunan Ekuivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dengan n(A)= n(B), yaitu banyaknya anggota A sama  dengan anggota B, maka dikatakana bahwa himpunan A ekuivalen dengan himpunan B ( A ~ B ).

4. Dua Himpunan Lepas (saling asing)

Dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan saling asing / lepas (ditulis A // B) dan dibaca A lepas dengan B, jika dua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan, atau setiap anggota A bukan anggota B dan sebaliknya.

Contoh:

a. Jika A= {1, 2, 3, 4, 5 } dan B= {7, 8, 9, 10}, maka A // B.

b. Jika P= { k, e, t, a, m } dan T= { p, u, r, i, n, g }, maka P // T.

C. Operasi-operasi Pada Himpunan

1. Irisan ( ∩ )

Irisan dari himpunan A dan himpunan B ( ditulis A ∩ B “dibaca A irisan B” ) adalah himpunan semua anggota persekutuan  himpunan A dan himpunan B, atau dengan kata lain himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua anggota himpunan A yang sekaligus sebagai anggota B.

Atau dapat ditulis sebagai A ∩ B = { x │ x € A ᴧ x € B }.

2. Gabungan

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B (ditulis A u B  dibaca A gabungan B) adalah himpunan dari semua anggota himpunan A atau himpunan B. Atau dapat ditulis A u B = { x │x € A ᴠ x € B }

3. Komplemen suatu bilangan

Misalkan S adalah suatu himpunan semesta maka komplemen dari himpunan A ( ditulis Aᶜ dibaca A komplemen ) adalah himpunan dari semua anggota himpunan semesta S yang bukan merupakan anggota  A. Atau ditulis  Aᶜ = {x│x € s ᴧ x Ɇ A}

4. Selisih dua himpunan

Himpunan A dikurangi himpunan B ( ditulis A – B dan dibaca “A kurang B” ) adalah himpunan dari anggota-anggota himpunan A yang bekan merupakan aggota B. atau ditulis dengan A – B = { x │ x € A ᴧ x Ɇ B }

5. Perkalian kartesius ( x )

Perkalian kartesius dari himpunan A dan himpunan B (ditulis “A x B” dibaca A x B) adalah suatu himpunan pasangan terurut yang komponen pertamanya elemen A dan komponen keduanya elemen B. Secara simbolik ditulis A x B = { ( a, b ) │ a € A ᴧ b € B }

Kegiatan Belajar 2

Relasi dan Fungsi

A. Relasi Dan Contohnya

R = {( 2,2 ), ( 2,4 ), (2,6 ), (3,3 ), (3,6 ), (4,4 ), ( 5,5 ), (6,6 ) }

R adalah himpunan pasangan terurut yang menyatakan relasi membagi habis pada A. Secara formal didefinisikan sebagai berikut. 

Relasi R antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B adalah suatu himpunan bagian dari A x B.

B. Sifat-sifat Relasi

1. Sifat Refleksif 

Misalkan  S adalah suatu himpunan yang tidak kosong dan R suatu relasi dalam S. Relasi R bersifat reflektif, jika untuk setiap a € S, ( a, a ) € R. Yaitu  setiap elemen S berelasi dengan dirinya sendiri. Atau Relasi R bersifat reflektif dalam S, jika untuk setiap  a €S, (a, a ) € R

2. Relasi Simetris 

Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong dan R suatu relasi antara elemen-elemen S. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap a, b € S, jika ( a, b ) € R  maka ( b, a ) € R.

3. Relasi Transitif

Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong dan R suatu relasi dalam S. Relasi R bersifat transitif, apabila untuk setiap a, b, c, €, S, jika ( a, b) € R dan ( b,c ) € R maka ( a, c ) € R.

4. Fungsi/Pemetaan 

Fungsi/pemetaan merupakan suatu tipe khusus dari relasi. Secara formal didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari himpunan kedua, sedemikian hingga tidak ada elemen pada himpunan pertama yang dipasangkan dengan dua elemen berbeda pada himpunan kedua

C. Notasi Fungsi

Suatu fungsi , biasanya diberi symbol dengan huruf kecil  f, g, h atau lainnya. Misalkan suatu fungsi f yang memasangkan setiap elemen himpunan A ke elemen himpunan B, ditulis sebagai f : A → B.

D. Fungsi Sebagai Mesin

Suatu cara yang dinamis utuk memvisualisasi konsep fungsi melaui mesin. Sebagai input (masukan) adalah elemen dari domain dan sebagai output (keluaran) adalah elemen dari daerah hasil (range). Sebagai contoh, jika 3 sebagai input, maka outputnya adalah 3² yaitu 9. Dalam hai ini, 3 adalah suatu elemen dari daerah asal (domain) dan 9 adalah elemen dari daerah hasil (range).

E. Fungsi Sebagai Himpunan Pasangan Terurut

Telah diketahui bahwa fungsi adalah tipe khusus dari relasi karena relasi dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, maka fungsi tentu dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, maka f : A → B. Dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, yaitu f = { ( -2,4 ), (-1, 1 ), ( 0,0 ), (1,1 ), (2,4).

F.  Komposisi Pada Fungsi-fungsi

Misalkan dua mesin fungsi, yaitu mesin I dengan aturan  f (x) = 2x. jika 2 dimasukkan kedalam mesin I, maka mesin mengolahnya dengan  f(2) = 2 + 4 = 6. Selanjutnya 6 dimasukkan ke mesin II dan diolahnya menjadi g (6) = 2 . 6 = 12. Mengoperasikan mesin I selanjutnya ke mesin II sama saja dengan mengkomposisikan fungsi f dengan fungsi g yang ditulis g o f. f lebih dulu dioperasikan, meskipun ditulis diakhir, jadi mencari hasil dari 2 seperti diatas dikerjakan sebagai berikut:

( g o f )( 2) = g ( f ( 2 ) = 12

( g o f )(2) = f (g ( 2 ) = f ( 4 ) = 8

Jadi, g o f ≠ f o g ( komposisi fungsi tidak bersifat komulatif )

Demikianlah apa yang dapat saya tuliskan yaitu tentang isi dari materi pada pembelejaran PDGK4108 Matematika Modul 2: Himpunan, Relasi dan Fungsi. Semoga artikel sederhana ini bermanfaat bagi para pembaca sekalian dimana pun berada dan mohon maaf jika terdapat kesalahan dalam penulisan.

Semoga pembahasan tentang materi himpunan, relasi dan fungsi ini dapat menambah pemahaman kita tentang pembelajaran tersebut dan dapat menjadi contoh dalam menyelesaikan permasalahan di dalam pembelajaran matematika di sekolah.

Download PPT Matematika Modul 2: Himpunan, Relasi dan Fungsi disini. 

Berbagi :